Bounty - Money Bubble ICM

자막 안내: 불확실 16개 (해당 구간은 확인이 필요합니다.) 영상 2부에 오신 것을 환영합니다. 이번에는 머니 버블을 다룹니다. 먼저 머니 버블 ICM에서 다룰 상황을 구체화하겠습니다.

우리가 보는 상황은 머니 버블에 매우 가깝고, 대규모 필드에서 계속 폴드해도 항상 ITM에 든다는 것입니다. 예를 들어 510명이 남았고 10명 더 탈락하면 상금권이거나, 1,000명이 남았고 50명 더 탈락하면 상금권이라면,

크게 보기

계속 폴드해도 보통은 ITM에 진입합니다. 예를 들어 Sunday Million에서 10bb 숏스택이고, 약 1,000명 중 50명이 더 탈락해야 상금을 받는다면,

계속 폴드해도 대개 안전하게 ITM에 듭니다. 한 명만 더 탈락하면 되는 상황과도 큰 차이가 없습니다. 물론 블라인드를 잃습니다. 이 필드에서 머니까지 50명 남았다면 계속 폴드할 때 보통 약 3~4bb를 잃겠지만,

그래도 한 명만 더 탈락하면 되는 상황과 큰 차이가 없습니다. 즉, 거의 새틀라이트와 비슷한 상황입니다. 하지만 칩을 따면 스택 가치가 올라갑니다. 머니 버블에서 칩을 따면

상위권과 중위권으로 마칠 확률, 그리고 최하위권으로 마칠 확률이 모두 달라집니다. 상위권과 중위권으로 마칠 확률은 증가합니다.

반대로 상금권의 최하위 순위로 마칠 확률은 감소합니다. 이 점이 새틀라이트와 다릅니다. 계속 폴드해도 안전하게 티켓을 딸 수 있는 새틀라이트라면, 칩을 더 얻을 추가 이득이 없습니다. 티켓을 따면 토너먼트가 끝나니까요.

이제 두 가지 질문을 해보겠습니다. 첫 번째는, 큰 필드가 남았을 때 올인을 콜해 더블업한 스택 가치를 어떻게 계산할까? 두 번째는 머니 버블의 숏스택으로 애니 투 잼 레인지에 어떤 핸드까지 콜할 수 있을까?

크게 보기

보통은 모든 순위별 확률을 컴퓨터 프로그램으로 계산하고, 그 확률로 스택 가치를 구합니다.

하지만 필드가 커질수록 가능한 순위 조합이 어떻게 되는지 보죠. ICM 영상에서 가능한 순위 조합을 살펴봤습니다. 4명일 때는 가능한 순위 조합이 24개였습니다. 10명의 순위별 확률을 모두 계산하려면,

가능한 순위 조합이 360만 개입니다. 컴퓨터로 계산할 수 있습니다. 한 명을 더해 11명이 되면 순위 조합은 벌써 3,900만 개입니다. 15명이면 가능한 순위 조합이 이미 1조 3,000억 개입니다.

여기에 10명을 더해 25명이 되면, 가능한 순위 조합은 1.5×10²⁵개입니다.

크게 보기

15명과 25명의 순위 조합을 계산하는 두 경우를 비교하면,

즉 순위별 확률을 계산하면, 25명인 경우에는 15명일 때의 계산을 10조 번 해야 모든 순위별 확률을 얻습니다. 필드를 더 키워 가능한 순위 조합을 모두 보면,

요점은 분명합니다. 모든 순위별 확률을 컴퓨터조차 직접 계산할 수 없게 됩니다. 가능한 순위 조합이 아주 많고, 그 안에 곱셈도 있어서 컴퓨터도 인간의 평생 동안 직접 계산할 수 없습니다.

이 문제의 해법은 다른 과학처럼 시뮬레이션입니다. 직접 해석적으로 풀 수 없는 실험을 시뮬레이션하고,

크게 보기

시뮬레이션에서 결론을 도출해 그 결론이 현실과 맞는다면,

문제를 직접이 아닌 간접적으로, 시뮬레이션으로 푼 것입니다. 이제 큰 필드에서 생기는 이 문제를 어떻게 다룰지 보겠습니다. 큰 필드가 남으면 모든 순위별 확률을 순위 조합으로 직접 계산하지 못하지만, 시뮬레이션으로는 가능합니다.

먼저 조건을 정하겠습니다. 모든 플레이어의 스택이 같은 필드를 가정하고, 한 명만 탈락하면 되는 정확한 머니 버블에 있다고 하죠. 지난 영상에서 봤듯이 모두의 스택이 같다면,

100명일 때 각 순위로 마칠 확률은 1/100입니다. 1위도 1/100, 100위도 1/100입니다.

이를 그리면 이른바 평평한 분포가 나오고, 거의 직사각형 모양입니다. 5명을 예로 들어 분포를 그려보겠습니다. A, B, C, D, E 다섯 명이 있고,

모두 같은 칩 스택을 가집니다. 이를 그리면 확률 분포 P를 얻고,

크게 보기

순위는 1위부터 5위까지입니다. 모두의 스택이 같으므로 각 순위 확률은 1/5, 즉 20%입니다. 이제 조건을 바꿔보겠습니다. 한 플레이어의 스택을 나머지 평균의 2배로 두겠습니다.

5명이라면 모든 순위별 확률을 직접 계산할 수 있습니다. 이 표에는 각 순위의 확률이

A와 다른 플레이어별로 나옵니다. A의 스택은 평균의 2배입니다. 이제 플레이어들의 순위별 확률을 비교해보죠.

크게 보기

A의 1위 확률과 B, C, D, E의 5위 확률을 보겠습니다. B, C, D, E의 5위 확률은 모두 3.33%p씩 증가합니다. 모든 스택이 같았던 상황과 비교한 값입니다.

이를 4배하면 A의 1위 확률 증가분이 나옵니다.

크게 보기

2위와 4위를 보면, A의 2위 확률 증가분은 정확히 4배입니다.

각 상대의 4위 확률이 그 비교 기준입니다.

크게 보기

스택 크기에 따라 확률을 옮길 때 일종의 대칭성이 있습니다. 또 하나 중요한 점은 중간 순위의 확률은 변하지 않는다는 겁니다. 모두 같은 스택이면 3위 확률은 20%이고,

나머지 필드 평균의 2배 스택도 3위 확률은 20%입니다.

크게 보기

왜 그런지 그래프로 보겠습니다. 각 순위 확률이 1/5인 평평한 분포가 있었습니다. 각 순위의 확률은 1/5이고, 이 분포 안에 삼각형 두 개를 그려보겠습니다.

크게 보기

왼쪽과 오른쪽에 하나씩입니다. 5위 확률을 일부 덜어서 1위 확률에 더합니다.

크게 보기

4위 확률도 일부 덜어서 2위 확률에 더합니다.

크게 보기

그러면 3위에서는 확률을 일부 덜어내고, 확률을 일부 더하게 됩니다. 두 양은 정확히 같습니다. A의 3위 확률에서 덜어낸 만큼

3위 확률에 똑같이 더하므로

크게 보기

A의 3위 확률은 이 그래프 방식에서도 결국 변하지 않습니다. 이걸 왜 볼까요? 머니 버블에선 결정을 내려야 합니다.

누군가 잼하면 콜할지 폴드할지 정해야 합니다. 그 판단에는 수치가 필요합니다. 콜할 수 있는지, 폴드해야 하는지 판단하려면 핸드 전 스택 가치,

핸드를 졌을 때의 스택 가치, 핸드를 이겼을 때의 스택 가치를 구해야 합니다. 이겼을 때는 ITM에서 평균의 2배 스택이고, 나머지 필드는 평균 스택만 가집니다.

그 결과로 얻는 것이 평균의 2배 스택일 때의 순위 확률 분포입니다. 이 확률 분포에 각 순위의

상금을 곱하면 스택 가치가 나옵니다. 이제 시뮬레이션 결과에서 같은 결론이 나오는지 보겠습니다. 그래프의 x축은 최종 순위이고,

y축은 해당 순위로 마칠 확률입니다. Mini Super Tuesday에서 233명까지 상금을 받았고, 한 플레이어의 스택은 평균의 2배입니다. 머니 버블이 끝났고, 한 플레이어는 평균의 2배 스택입니다.

이 토너먼트를 23,300번 실행했습니다. 파란 선은 시뮬레이션 결과이고, 빨간 선은 앞서 구한 선형 근삿값입니다.

크게 보기

지금은 신경 쓰지 마세요. 나중에 다루겠습니다. 지금은 파란 선만 보면 됩니다.

토너먼트를 여러 번 실행하면 각 순위의 확률에 변동이 생깁니다. 하지만 시뮬레이션 결과의 형태를 보면, 분명한 삼각형입니다. 앞서 본 것과 같은 모양입니다. 5명으로 계산했을 때의 결론은

중간 순위로 마칠 확률은 평균의 2배 스택이어도 평균 스택일 때와 같다는 것입니다. 233을 2로 나누면 116위와 117위쯤이며,

그 순위로 마칠 확률은 모두 같은 스택일 때와 같습니다. 평평한 분포는 그래프의 이 높이에 있습니다.

그 값은 1/233이고, 그래프에서는 이 정도 높이입니다. 역시 같은 결과입니다. 116위나 117위로 마칠 확률은

크게 보기

평균의 2배 스택이어도 변하지 않습니다. 여전히 1/233, 약 0.43%입니다. 다른 예로 Sunday Million을 살펴보겠습니다. Sunday Million은 1,106명까지 상금을 받았습니다.

이번에도 한 플레이어는 평균의 2배 스택이고, 토너먼트를 44,240번 실행했습니다. 파란 선은 시뮬레이션, 빨간 선은 근삿값입니다. 여기서도 시뮬레이션한 순위별 결과에 분산이 있지만,

크게 보기

전체 형태는 역시 삼각형입니다. 분포의 중간으로 가보죠. 이번에는 약 553위입니다. 역시 모든 가능한 순위 중 중간 순위로 마칠 확률은

평균의 2배 스택이어도 변하지 않습니다.

크게 보기

이번 값은 1/1,106이고, 정확히 그 순위로 마칠 확률은 약 0.09%입니다. 시뮬레이션도 평균의 2배 스택이면 그 순위로 마칠 확률이 같다는 결론을 냅니다.

두 시뮬레이션을 바탕으로 결론을 내리고, 선형 근삿값을 계산하겠습니다. 빨간 선의 방정식을 구하겠습니다. 이를 계산하려면

ITM에 든 총 플레이어 수를 n이라고 하겠습니다 다시 돌아가 보죠 다행히 이 시뮬레이션에서 두 지점을 알고 있습니다 이 지점을 알고 있죠

분포의 중앙에 있는 첫 번째 지점입니다 즉 n/2에서는 해당 순위로 마칠 확률이 나옵니다 그 값은 1/n입니다 ITM 플레이어 총수로 1을 나눈 값이죠

두 번째 지점도 알고 있습니다 그 지점은 1위에 해당합니다 근사할 때는 최하위권으로 마칠 확률이 0에 가깝다고 봅니다

실제로 0은 아니지만 큰 필드에서는 0에 매우 가깝습니다 그래서 균등분포에 있던 전체 확률을 가져옵니다

여기 직사각형 부분이죠 그 확률을 모두 빼서 최상위권에 더합니다 두 번째 지점의 확률을 구하려면 1위의 확률을 봅니다

그 확률은 정확히 2/n입니다

크게 보기

최하위의 확률을 모두 빼서 1위에 더했기 때문이죠 이 두 지점을 알면 선형 근사치를 계산할 수 있습니다 선형 방정식에는 두 지점만 있으면 됩니다 두 지점으로 방정식을 구하면 이런 형태가 됩니다

복잡해 보이지만 단순화하면 이 방정식이 나옵니다 두 식의 결과는 같지 않지만 차이는 천분율 단위에 불과합니다

따라서 형태가 더 간단한 이 근사식을 쓰면 됩니다 두 번째 식에 유의하세요 x=0에서 시작합니다 1위 입상 확률을 계산할 때도

크게 보기

0부터 시작합니다 x=0을 대입하면 이 합은 0이 되고 결과는 2/n이 됩니다 바로 제가 원했던 1위 입상 확률입니다

이 값은 2/n이어야 합니다 복잡해 보일 수 있지만 예제를 보면 이 식의 아름다움과 간결함을 알게 될 겁니다 첫 번째 예제인 선데이 밀리언을 보겠습니다

왼쪽에 필요한 자료가 보입니다 이게 전부입니다

로비에서 이 화면을 캡처합니다 총상금과 상금 지급 순위 수, 토너먼트의 상금 분포를 얻습니다 먼저 핸드 시작 전 스택 가치를 계산하겠습니다

핸드 전에는 아직 ITM이 아니고 1,107명이 남아 있습니다 총상금을 남은 플레이어 수로 나누기만 하면 됩니다 근사치에서는 모두의 스택이 같다고 보기 때문입니다

그 값은 $1,108.23입니다

크게 보기

이제 선형 방정식을 사용해 단계별로 계산하겠습니다 1위 확률은 방정식에 0을 대입하고 ITM 플레이어 총수인 n도 대입합니다

그러면 1위 확률이 나옵니다 이번에는 1을 대입하면 2위 확률이 나옵니다 이 과정을 1,105까지 반복합니다

1이 아니라 0부터 시작했으므로 1,106위 확률이 나옵니다 이 값은 이미 거의 0입니다

크게 보기

1,106을 대입하면 이 항이 사라지고 -2/1,106에 2/1,106을 더한 값만 남습니다 정확히 0이죠 따라서 최하위권이 스택에 더하는 달러 가치는 크지 않습니다

이제 달러 가치를 계산하겠습니다 계산한 1위 확률을 대입해

1위 상금과 곱합니다 2위도 계산한 확률을 가져와

2위 상금과 곱합니다 600위도 같은 식으로 계속 계산합니다 그러면 총 달러 EV는 $1,773.03이 됩니다

크게 보기

이제 버블 팩터 계산에 필요한 정보가 모두 있습니다 핸드 전 스택 가치와 승리했을 때의 스택 가치, 패배했을 때의 스택 가치입니다 패배하면 아무것도 얻지 못하죠 이 값들을 사용해

버블 팩터를 계산합니다 버블 팩터는 스택 EV 손실을 스택 EV 이익으로 나눈 값입니다 패배하면 아무것도 못 받으므로 EV 손실은 현재 스택 EV 전체이고

EV 이익은 나머지가 평균 스택일 때 평균 두 배인 내 스택 가치에서 핸드 전 스택 EV를 뺀 값입니다 결과는 1.66입니다

크게 보기

이 버블 팩터로 올인 잼 레인지에 맞설 콜 레인지를 정합니다 빅블라인드에서 20bb를 보유했고 상대의 올인을 콜할지 봅니다 상대 푸시 레인지는 22+, A2s+ 등입니다

앤티 합계는 1bb로 봅니다 그러면 오즈는 1.157 대 1입니다 칩 에퀴티 기준 최소 에퀴티는

46.3%입니다 이를 레인지로 환산하면

55+, A9s+, ATo+, KQs로 콜할 수 있습니다 하지만 ICM, 즉 버블 팩터를 고려하면 58.9%가 필요합니다 콜할 수 있는 건

TT+, AKs, AKo뿐입니다

크게 보기

그럼 지금까지 무엇을 했을까요? 시뮬레이션으로 아주 간단한 근사치를 계산했습니다 이 근사치로 모든 순위별 입상 확률을 구하고 그 확률로 승리했을 때의 스택 가치를 계산합니다

그 값으로 버블 팩터와 콜 레인지를 계산합니다 입상 확률 계산에는 어떤 스프레드시트든 쓸 수 있습니다 저는 엑셀을 쓰지만 구글 스프레드시트도 괜찮습니다

숫자를 넣고 모든 확률을 계산한 뒤 각 순위 상금과 곱하면 스택의 달러 EV가 나옵니다 프로그래밍을 알 필요도, 직접 시뮬레이션할 필요도 없습니다

간단한 방정식만 쓰면 됩니다 마지막으로 몇 가지를 말씀드리죠 첫 번째 핵심은 숏스택이면 더 타이트해야 한다는 겁니다 먼저 오른쪽 그림을 보세요

이번에는 미니 슈퍼 튜즈데이를 분석했습니다 233명에게 상금을 주며 분포는 보시는 것과 같습니다 왼쪽 그래프는 233위까지 이어지고 각 순위로 마칠 확률을 나타냅니다

곡선은 세 개입니다

크게 보기

각 곡선을 살펴보죠 초록색은 한 플레이어의 입상 확률이며

평균 스택의 절반을 가졌습니다 파란색도 마찬가지로 평균 스택의 1/4을 가졌고 빨간색 플레이어는

평균 스택의 1/8을 가졌습니다 여기는 625칩이어야겠네요 숏스택은 특정 순위 구간에서 입상 확률이 매우 높습니다 예를 들면 여기 표시된 구간입니다

반면 가령 50위부터 1위까지는 확률이 매우 빠르게 떨어집니다 따라서 숏스택의 입상 확률은 중간 순위나 최하위권에 대부분 몰려 있습니다 시뮬레이션으로 스택의 달러 가치를 계산할 수 있습니다

ITM에서 평균 스택의 1/4이면 달러 가치는 약 $367입니다 더블업하면 평균 스택의 절반이 되고

크게 보기

달러 EV는 $450.72로 바뀝니다 이 값으로 머니 버블 직전의 버블 팩터를 구하면 4.38입니다

머니 버블 직전의 숏스택이라면 버블 팩터가 모두 평균 스택일 때 올인 콜을 결정할 때보다 훨씬 높습니다 평균 스택일 때는 1.66이었고 숏스택인 이 상황에서는

4.38입니다 이 버블 팩터로 필요한 에퀴티를 계산하면

크게 보기

81.4%가 나옵니다

여기서는 1 대 1 오즈를 사용했습니다 블라인드에 비해 큰 스택을 가정했지만 스택을 바꿔도 큰 차이는 없습니다 20bb나 10bb를 넣으면 1.157이나 1.23 정도입니다 이제 애니 투 잼을 콜한다고 가정해도

KK+만 콜할 수 있습니다

크게 보기

머니 버블의 숏스택은 상금 구조에 따라 올인 콜을 극도로 타이트하게 해야 합니다 지금은 표준 상금 구조입니다 미니멈 캐시가

2배가 아니라 3배라면 더 타이트해야 합니다 AA로만 콜할 수 있고 때로는 AA도 폴드해야 합니다 첨부 자료에서 계산을 확인하세요

이제 평균 스택만 사용한 시뮬레이션이

스택 분포가 있는 경우와 비교해 현실적인지 살펴보겠습니다 첫 시뮬레이션에서는 필드의 모든 플레이어가 같은 스택이었고 각 순위와 해당 순위로 마칠 확률이 보입니다 모두 같은 스택이면 확률은 균등분포가 됩니다

각 순위로 마칠 평균 확률은 대략 여기쯤입니다 모두 같은 스택인 경우죠 하지만 현실적인 상황은 아닙니다 실제 토너먼트에는 항상 스택 크기 분포가 있기 때문입니다

빅스택과 숏스택, 크기가 다른 여러 미들스택이 있죠 그래서 달러 EV 시뮬레이션과 그 근사치가

현실적인지가 관건입니다 다른 스택 크기 분포로도 시뮬레이션 결과를 계산했습니다 이 경우 필드의 절반은 평균 스택, 1/4은 빅스택,

1/8은 매우 큰 스택, 나머지는 숏스택입니다 그래도 거의 균등분포입니다

크게 보기

평균 스택의 최하위권 입상 확률은 조금 낮아집니다 필드에 숏스택이 있기 때문이죠 하지만 최상위권 입상 확률은 별로 높아지지 않고 확률 대부분은 여전히 필드 중간에 몰립니다

스택의 달러 EV를 계산해 보면 평균 스택에서는 차이가 작습니다

약 $3 차이로 $600 중 0.5%입니다

크게 보기

이제 비교할 대상은 평균의 두 배인 스택 상황입니다 두 그래프 중 왼쪽은 모두 평균 스택인 시뮬레이션이며 삼각형 분포가 나옵니다

오른쪽은 토너먼트 안에 다양한 스택 크기가 있는 경우입니다 그래도 두 결과는 매우 비슷합니다 달러 EV는 조금 달라집니다 최하위권 입상 확률은 조금 낮아집니다

평균 스택만 있는 필드에서 평균의 두 배를 가진 경우와 비교해서죠 최상위권 입상 확률도 이 경우보다 낮아집니다

그래도 그 차이는 크지 않습니다 이 경우 2%를 조금 넘습니다

이는 매우 좋은 근삿값입니다

크게 보기

오차와 분산 범위가 있지만요

머니 버블에서 더블업할 때 스택의 달러 EV를 잘 산출합니다 이미 말씀드렸듯이 더 타이트해야 합니다 민 캐시가 클수록 그렇습니다 이 점을 다시 강조하는 이유는

사이트마다 상금 분배가 다르기 때문입니다 저희 계산은 모두 Stars의 상금 분배를 사용했습니다 그래서 민 캐시는 보통 바이인의 2배, 때로는

2.5배 정도이며 이보다 훨씬 커지진 않습니다 하지만 다른 사이트에서는 바이인의 3배, 혹은 3.5배를 주기도 합니다

그런 경우엔 더 타이트해야 합니다 콜 레인지를 구할 때는

올인 잼 레인지를 상대로 할 때 말입니다 또한 모든 계산에는 ICM을 사용했지만 순수 ICM만으로는

최적의 결정을 내리기에 부족합니다 예를 들어 더 큰 스택을 가질 때의 미래 EV가 아주 클 수 있습니다

크게 보기

Sunday Million을 예로 들어보죠 Sunday Million에서는 머니 버블 때 매우 타이트해지는 편입니다 100명이 더 탈락해야 머니 버블이 터지는 상황이라면 특히 평균보다 조금 적은 스택이나 숏스택을 가진 플레이어는

10~25BB라면 상당히 타이트해지는 경향이 있습니다 머니 버블이 터지면 아주 빠르고 거침없이 칩을 넣습니다

그것도 아주 넓은 레인지로요 머니 버블이 가까울 때 더블업하면

이런 상황이 됩니다 그런 올인을 콜할 수 있고 그 올인 레인지는 아주 아주 넓습니다 토너먼트 생존을 위험에 빠뜨리지 않으면서도

큰 달러 EV를 얻을 수 있습니다 순수 ICM은 이런 상황을 포착하지 못합니다 한 시점의 결정 하나만 보기 때문이고 미래 EV가 모델에 포함되지 않기 때문입니다

하지만 최적의 결정을 내리려면 머니 버블 무렵 더블업으로 커진 스택의 미래 EV를 고려해야 합니다 또 하나 매우 중요한 점입니다 ITM 인원이 아주 적을 때는 앞서 계산한 근삿값을 쓰지 마세요

크게 보기

왜냐하면 이 근사 방식은 최하위로 마칠 확률을 모두 빼서

그 확률을 1위에 더합니다 그런데 필드가 아주 작으면 최하위권으로 마칠 확률은 0도, 0에 가까운 값도 아닙니다

그 확률은 여전히 0보다 상당히 큽니다 이 근삿값이 산출하는 스택의 달러 가치는 훨씬 큰 값이 되는데

순수 ICM으로 계산한 값과 비교하면 그렇습니다 다행히 필드가 작으면 보통 순수 ICM을 계산할 수 있습니다 모든 조합을 계산하면 됩니다

이 근삿값을 쓰기 좋은 기준점은 ITM 50~60명 정도입니다 그보다 인원이 많으면 이 근삿값을 써도 되고 매우 정확한 스택의 달러 가치를 얻을 수 있습니다

오늘은 여기까지입니다 테이블에서 행운을 빕니다 다음 영상에서 뵙겠습니다 안녕히 계세요